Showing posts with label Matematika. Show all posts
Showing posts with label Matematika. Show all posts

Friday, November 4, 2016

Contoh Soal dan Pembahasan Deret Aritmatika

Contoh Soal dan Pembahasan Aritmatika


latian soal artimatika




1. Suku-suku suatu barisan geometri takhingga adalah positif, jumlah suku U1+U2 = 45dan U3+U4 = 20, maka berapa jumlah suku-suku dalam barisan tersebut?
 diketahui :
* U1 + U2 = 45
→ a + ar = 45
→ a (1+r) = 45 ………….. (1)
* U3 + U4 = 20
→ ar2 + ar3 = 20
→ r2 a(1+r) = 20 ……..(2)
kita substitusi persamaan (1) ke persamaan (2)
r2 (45) = 20
r= 20/45 =4/9
r = 2/3 atau -2/3
karena suku-suku deret geometrinya diketahui positif maka r = 2/3
kita menentukan nilai a
a (1+2/3) =45
a x 5/3 = 45
a = 45 x 3/5
a = 27
dengan dimikian jumlah suku-suku barisan geometri hingga tersebut adalah
S = a/1-r = 27/ (1-2/3) = 27 : 1/3 = 27 x 3 = 81

2. Jika jumlah takhingga deret a + a0 + a-1 + a-2 + a-3 + … adalah 4a, maka nilai a adalah
deret dalam soal di atas adalah deret geometri dengan
suku pertama (a) = a
r = 1/a dan S = 4a kita masukkan ke rumus
S = a/[1-r] 4a = a/[1-1/a] 4a = a2/[a-1] 4a [a-1] = a2
4a2 – 4a = a2 (masing-masing ruas di kali 1/a)
4a – 4 = a
3a = 4
a = 4/

3. hitung punya tiga buah bilangan. Tiga buah bilangan tersebut berurutan yang berjumlah 12 dan merupakan suku-suku deret aritmatika. Jika bilangan yang ketiga ditambah 2, maka diperoleh deret geometri. Hasil kali ketiga bilangan tersebut adalah?
 deret aritmatika : U1 + U2 + U3 = 12
misalkan U1 = a-b ; U2 = a ; U3 = a+b
U1 + U2 + U3 = 12
a-b + a + a+b = 12
3a = 12 maka kita dapat 4
kemudian deret geometri
a-b, a, a+b+2  merupakan deret geometri
4-b, 4, 6+brasio  = rasio
4/4-b = 6 + b/4 (kita kali silang)
4 x 4 = (4-b) (6+b)
16 = 24-2b-b2
b2+2b+16-24 = 0
b2+2b-8 =0
(b+4) (b-2) = 0
b = -4 atau b = -2
untuk b = -4 maka bilangan dalamb barisan aritmatika tersebut adalah 8,4,0
hasil kalinya = 0
untuk b = 2 maka bilangan dalam barisan aritmatika tersebut adalah 2,4,6
hasil kalinya = 48 

4. Dari sebuah deret aritmetika diketahui bahwa jumlah suku ke-4 dan suku ke-7 adalah 81. Jika deret tersebut memiliki beda 5, tentukan suku pertama deret tersebut!
Data:
U
4 + U7 = 81
U
4 = a + 3b dan U7 = a + 6b sehingga
U
4 + U7 = (a + 3b) + (a + 6b) 
U
4 + U7 = 2a + 9b
81 = 2a + 9b
81 = 2a + 9(5)
81 = 2a + 45
2a = 81 − 45
2a = 36
a = 18
U
1 = a = 18

5. Dari barisan aritmetika diketahui suku ke-7 = 22 dan suku ke-11 = 34. (28). Hitunglah jumlah 18 suku pertama deret aritmetika tersebut!
Rumus:
Un = a + (n − 1)b
Maka,
U7 = a + (7 − 1)b
22 = a + 6b => a = 22 – 6b
U11 = a + (11 − 1)b
34 = a  + 10b
34 = 22 – 6b + 10b
34 = 22 + 4b
12 = 4b
b = 3
a = 22 – 6b
a = 22 – 18
a = 4
Jumlah dari deret aritmatika dapat ditulis:
Sn = (n/2)(2a + (n – 1) b)
S18 = (18/2)(2.4 + (18 – 1)3)
S18 = 9.(8 + 51)
S18 = 531

 6. Rumus suku ke-n suatu barisan Un = 2n – n2. Hitunglah jumlah suku ke-10 dan ke-11 barisan tersebut!
Un = 2n – n2
Maka,
U10 = 2.10 – (10)2
U10 = 20 – 100
U10 = – 80
U11 = 2.11 – (11)2
U11 = 22 – 121
U11 = – 99
U10 + U11 = – 80 + (– 99)
U10 + U11 = – 179






7. Diketahui deret aritmatika U2+U3=12 dan U7=15. Maka jumlah 5 suku pertamanya adalah….
U2 + U= 12 ==== 2a + 3b = 12 x 1 2a + 3b = 12
U7 =15 ======== a + 6b = 15 x 2 2a + 12b= 30 _
-9b = -18
b = 2
a + 6b = 15
a + 12 =15
a =3
Sn = n/2 { 2a + (n-1)b}
S5 = 5/2{ 2 . 3 + (5-1)2}
= 5/2 { 6 + 8 }
= 5/2 {14}
= 35

8. Diketahui deret aritmatika dengan rumus Sn = 2n^2 + 3n. Beda deret aritmatika tersebut adalah...
a. 3
b. 4
c. 5
d. 9
Pembahasan:
Beda dapat dicari dengan mengurangkan jumlah 2 suku (S2) dengan jumlah 1 suku (S1)
Sn = 2n^2 + 3n
S2 = 2.2^2 + 3.2
     = 2.4 + 6
     = 8 + 6
     = 14

Sn = 2n^2 + 3n
S1 = 2.1^2 + 3.1
     = 2.1 + 3
     = 2 + 3
     = 5
beda = b = S2-S1
               = 14 - 5
               = 9 (pilihan d)


9. Dari barisan aritmatika diketahui suku ke-7 = 22 dan suku ke-11 = 34. Jumlah 18 suku pertama adalah...
a. 531
b. 666
c. 1.062
d. 1.332
Pembahasan:
U7 = 22
a + (7-1)b = 22
a + 6b = 22 ...... (persamaan pertama)

U11 = 34
a + (11-1)b = 34
a + 10b = 34 .... (persamaan dua)

Selanjutnya persamaan satu dan persamaan dua kita kurangkan:
Lalu kita ambil persamaan pertama untuk mencari nilai a:
a + 6b   = 22 (kita ganti b dengan 3, karena hasil b = 3)
a + 6(3) = 22
a + 18   = 22
a           = 22-18
a           = 4

Selanjutnya kita masukkan a = 4 dan b = 3 pada rumus jumlah suku atau Sn untuk mencari jumlah 18 suku pertama:
Sn  = n/2 (2a + (n-1)b)
S18 = 18/2 (2.4 + (18-1)3)
       = 9 (8 + 17.3)
       = 9 (8 + 51)
       = 9. 59
       = 531 (pilihan a)


10. Diketahui deret aritmatika 17, 20, 23, 26, ... Jumlah tiga puluh suku pertama deret tersebut adalah...
a. 1.815
b. 2.520
c. 2.310
d. 2.550
Pembahasan:
suku pertama = a = 17
Beda = b = U2-U1 = 20-17 = 3
Jumlah 30 suku pertama = S30
Sn  = n/2 (2a + (n-1)b)
S30 = 30/2 (2.17 + (30-1)3)
       = 15 (34 + 29.3)
       = 15 (34 + 87)
       = 15.121
       = 1.815 (pilihan a)




Read more